Einführung in die Finanz- und Versicherungsmathematik

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Die Reihenfolge der Formeln folgt der Verwendung in den einzelnen Kapiteln

1. Formeln zur Zinsrechnung:

1.1. einfache Verzinsung

Zinssatz:

i = p 100   ( Z1 )

Aufzinsfaktor:

r = 1 + i   ( Z2 )

Abzinsfaktor:

v = 1 1 + i = 1 r   ( Z3 )

Endwert bei Einfache Verzinsung:

S n = A · ( 1 + n · i )   ( Z4 )

Anfangswert bei einfacher Verzinsung:

A n = S 1 + n · i   ( Z5 )

1.2. Zinseszins

Endwert mit Zinseszins:

S n = A · r n   ( Z6 )

Anfganswert mit Zinseszins:

A = S n · v n   ( Z7 )

Beziehnunge zwischen den Variablen:

d = 1 − v   ( Z10 )

i · v = d   ( Z11 )

d · r = i   ( Z12 )

1.3. Monats- und Quartalszinssätze

Jahreszins bei gegebenen unterjährigen Zins:

i = ( 1 + i k ) k − 1   ( Z13 )

unterjähriger Zins bei gegebenen Jahreszins:

i k = ( 1 + i ) 1 k − 1   ( Z14 )

2. Formeln zu den Rentenbarwerten

2.2. jährlich auszahlbare Renten

Barwert einer vorschüssig jährlich zahlbaren Rente:

ä n⌉ = 1 − v n 1 − v   oder   1 − v n d   ( B1 )

Barwert einer nachschüssig jährlich zahlbaren Rente:

a n⌉ = 1 − v n i   ( B2 )

2.3. ewige Renten

ewig vorschüssig:

ä ∞⌉ = 1 d   ( B3 )

ewig nachschüssig:

a ∞⌉ = 1 i   ( B4 )

2.4. Zeitrenten mit Wartezeit

aufgeschobene vorschüssige Rente:

m|   ä n⌉ = 1 − v n 1 − v   1 v m = ä n⌉ · 1 v m   ( B5 )

aufgeschobene nachschüssige Rente:

m|   a n⌉ = 1 − v n i   1 v m = a n⌉ · 1 v m   ( B6 )

2.5. mehrmals jährlich zahlbare Renten

unterjährig vorschüssige Renten:

ä n⌉ ( k ) = 1 k · 1 − v 1 − v 1 k · ä n⌉ = ( B7 )

unterjährig vorschüssige Renten (Näherungsformel):

ä n⌉ ( k ) = ä n⌉ − k − 1 2k · ( 1 − v n )   ( B8 )

unterjährig nachschüssige Renten:

a n⌉ ( k ) = 1 k · 1 − v − 1 1 − v − 1 k · a n⌉   ( B9 )

2.6. aufgeschoben ehrmals jährlich zahlbare Renten

aufgeschoben unterjährig vorschüssige Renten:

m|   ä n⌉ ( k ) = 1 k · 1 − v 1 − v 1 k · m|   ä n⌉   ( B10 )

aufgeschoben unterjährig nachschüssige Renten:

m|   a n⌉ ( k ) = 1 k · 1 − v − 1 1 − v − 1 k · m|   a n⌉   ( B11 )

2.7. Rentenendwerte

Endwert einer vorschüssigen Rente:

s .. n⌉ = r n − 1 1 − v   ( B12 )

Endwert einer nachschüssigen Rente:

s n⌉ = 1 − r n 1 − r = 1 − r n v   ( B13 )

2.8. steigende Renten

Realzins:

R = 1 + i 1 + j − 1   ( B14 )

Bei allen bisherigen Formeln aus den Kapiteln Zinsrechnung und Rentenbarwerte kann statt des Zinssatzes i auch der Realzinssatz R eingesetzt werden!

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