3. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

Ziel dieses Kapitels ist es, dem Leser die Grundkenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung näherzubringen. Speziell jene Kenntnisse, die in den späteren Kapiteln, wie dem Rechnen mit Sterbewahrscheinlichkeiten und dem Bewerten von Wertpapieren beötigt werden. Der Schwerpunkt liegt im Verständnis der Konzepte hinter Wahrscheinlichkeiten und der praktischen Anwendung.

3.1. Ereignisse

Beim Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten geht es um Ereignisse. Ereignisse mit denen wir uns im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen erfüllen normalerweise folgende Voraussetzungen:

Das Ereignis ist nicht vorherbestimmt . Gegeben einen normalen Würfel mit sechs Seiten, kann es interessant sein wie hoch die Wahrscheinlichkeite für das Ereigniss, eine Vier wird gewürfelt, ist. Ob eine 4 gewürfelt wird oder nicht ist nicht vorherbestimmt. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, das Würfelergebnis ist kleiner als 7, ist dagegen eher uninteressant, da alle möglichen Ergebnisse kleiner 7 sind. Es ist vorherbestimmt, dass das Ergebnis kleiner 7 ist.

Über das Ereignis können quantitative Aussagen gemacht werden. Interessant sind Ereignisse über deren Wahrscheinlichkeit klare Aussagen gemacht werden können. Entweder weil sie von vornherein bekannt sind. So geht man beim Würfel davon aus, dass jede der sechs Seiten mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 kommt. Oder ein Ereignis ist nach einer bestimmten Wahrscheinlichkeit verteilt sein. Es wird bespielsweise angenommen, dass der Inteligenzquotient normalverteilt ist.

Die Abbildung zeigt eine Normalverteilung. Anhand dieser Verteilung kann berechnet werden wie groß z.B. die Wahrscheinlichkeit ist, daß eine zufällige Person einen Interligenzqoutienten von unter 75 hat.

Alle möglichen Ergebnisse eines Experiments bezeichnet man als Ereignisraum.
Bei einem Experiment, bei dem zwei normale Würfel geworfen werden, und die Summe der Augen auf beiden Würfel das Ergebnis des Experiments ist, können Zahlen von 2 bis 12 als Ergebnis kommen. Der Ereignisraum, der üblicherweise als Ω bezeichnet wird, sieht so aus:

{

2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

}

Jedes einzelne Ereignis des Ereignisraumes wird als Elementarereignis bezeichnet. Jedes Ergebnis des Experiments, wie z.B. 5 ist ein Elementarereignis.

Ereignisse bestehen aus beliebig vielen Elementarereignissen. Beispiele für Ereignisse (die meist mit Großbuchstaben bezeichnet werden) sind:

Ereignis A: Es wird eine Zahl zwischen 4 und 8 gewürfelt. Das Ereignis besteht aus den Elementarereignissen 5, 6 und 7. Man schreibt:

{

5,6,7

}

Ereignis B: Die Summe der Augen ist 6.

{

}

Ereignisse können auch logische Operatoren beinhalten:

Ereignis C: Die Summe der Augen ergibt "mehr als 10 ODER ist gerade":

{

2,4,6,8,10,11,12

}

Ereignis D: Die Summe der Augen "ist größer 4 UND gerade":

{

6,8,10,12

}

Es können auch bereits definierte Ereignisse mit logischen Operatoren verknüpft werden, man schreibt dann für "A und B", A∩B. Für "A oder B", A∪B.

Z.B.: Ereignis E: Ereignis C und Ereignis D treffen ein:

&cap

{

}

Beim Operator "oder" ist zu beachten, dass "A oder B" in der Mathematik bedeutet: Entweder A oder B oder beide Ereignisse treffen zu. Im Gegensatz zur umgangssprachlichen Verwendung, bei der "A oder B" oft bedeutet, dass nur eines der beiden Ereignisse eintritt. Mathematisch bedeutet "oder": mindestens eines der Ereignisse tritt ein.

Z.B. Ereignis F: Ereignis A oder B tritt ein:

&cup

{

5,6,7

}

Abschließend gibt es noch das Komplementärereignis . Es bedeutet, das ein Ereigniss nicht eintritt. Man schreibt in diesem Fall ein kleines c über das Ereignis. Z.b. das Komplementärereignis des Ereignis D ist:

{

2,3,4,5,7,9,11

}

Statt Komplementärereignis kann man auch einfach "nicht" sagen und den nicht-Operator ¬ verwenden.

Ereigniss G tritt dann ein wenn das Ereigniss C nicht eintritt:

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{

3,5,7,9

}

Oder das Ereignis H tritt ein wenn das Ereignis "A oder B tritt ein" nicht eintritt:

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(

&cup

)

{

2,3,4,8,9,10,11,12

}

Herbei wird, wie beim rechnen mit Klammern immer von innen nach außen gegangen, zuerst wird überlegt welche Elementarereignisse im Ereignis "A oder B" vorkommen, dannach wird das Komplement gebildet (alle Elementarereignisse die in Ereignis "A oder B" nicht vorkommen).

Die bisherigen Definitionen werden nun an einem anderen Experiment nochmals verdeutlicht:

Eine Münze wird zwei mal geworfen, bei jedem Wurf kann das Ergebnis Kopf (K) oder Zahl (Z) lauten.

Ein mögliches Ergebnis des Experiments wäre z.B. (Z,K) - Beim ersten Wurf Zahl, beim zweiten Kopf.

Der Ereignisraum (alle möglichen Ergebnisse) lautet:

{

(

K,K

)

(

K,Z

)

(

Z,K

)

(

Z,Z

)

}

Wichtig ist hierbei, dass die Elementarereignisse nicht einfach Kopf oder Zahl lauten. Beim Experiment wird die Münze immer zwei mal geworfen, jedes Ergebnis des gesamten Experiments bzw. Elementarereignis muss daher den Ausgang beider Münzwürfe beinhalten.

Ein paar Ereignisse zur Verdeutlichung:

Ereignis A: Beim ersten Wurf war das Ergebnis Kopf:

{

(

K,K

)

(

K,Z

)

}

Ereignis B: Das Ergebnis des zweiten Wurfs war Kopf oder Zahl:

{

(

K,K

)

(

K,Z

)

(

Z,K

)

(

Z,Z

)

}

Ereignis C: Das Ergebnis des ersten Wurfs war Zahl und das des zweiten Kopf:

{

(

Z,K

)

}

Ereignis D: Die Ereignisse A und C sind eingetreten:

A∩C

{

}

Selbstverständlich kann ein Ereigniss auch gar nicht möglich sein, wir schreiben dann {} für die leere Menge.

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