Als einer der ersten Mathematiker setzt sich Pierre-Simon Laplace (1749 bis 1827) genauer mit dem Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten auseinander. Ausgehend von der Frage wie hoch die Gewinnwahrscheinlchkeiten bei verschiedenen Arten des Glückspiels sind, entwickelt er Anfang des 19.Jahrhunderts einen Ansatz zum Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten. Dieser ist als Laplace-Ansatz oder klassischer Ansatz der Wahrscheinlchkeitstheorie in die Geschichte der Matheamtik eingegangen.
Laplace ging davon aus, dass es beim Glückspiel zwei Arten von Ereignissen gibt. Günstige Ereignisse, die zum Gewinn führen und ungünstige Ereignisse die nicht zum Gewinn führen. Dividiert man nun die Anzahl der günstigen Ereignisse durch die Anzahl aller Ereignisse erhält man die Eintrittswahrscheinlichkeit.
Angenommen man wirft einen Würfel ein mal. Dann ist, wie im vorherigen Kapitel beschrieben der Ereignisraum:
| Ω | = |
|
Ereignis A: der Wurf ergibt eine Vier:
| A | = |
|
Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt?
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird im
Folgenden mit P() bezeichnet.
| P |
|
= | ? |
Nach dem Lapalce-Ansatz ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, die Anzahl der günstigen durch die Anzahl der möglichen Fälle. Man schreibt:
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= |
|
= |
|
= |
|
= | 0,1667 | = | ca. | 17% |
Zur Schreibweise: Das #-Zeichen steht für Anzahl. Das kleine Omega (ω) steht für je ein Element aus der Menge Ω. ω∈A bedeutet "Element aus Menge A" und #ω∈A steht somit für die Anzahl der Elemente in Menge A. (Ganz genau: Anzahl aller Elementarereignisse aus der Menge Ω die Element der Menge A sind.)
Mithilfe des von Laplace entwickelten Ansatzes lassen sich die Wahrscheinlichkeiten von vielen Ereignissen berechnen, allerdings nicht von allen. Damit ein Ereigniss mit diesem Ansatz berechnet werden kann, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
Die erste Bedinung wird uns im Folgenden nur selten beschäftigen. Die zweite Bedingung ist schon problematischer, da in der Realität nur selten alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeiten haben. Z.B. ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person genau 175cm groß ist (gerundet) sicher wesentlich höher als dass sie 203cm misst.
Wie man anders verteilte Wahrscheinlichkeiten berechnet, wird später noch Thema sein. Für das nächste Kapitel zum Thema Urnenmodelle genügt der Laplace Ansatz.