Warning: Declaration of cl_zeichen::ausgabe($pv = 0) should be compatible with cl_vorlage::ausgabe($pv = 0, $ef = '') in /home/.sites/552/site959/web/finanzmathe_alt/zeitrenten/wpformel.php on line 292 Warning: Declaration of cl_zwraum::ausgabe() should be compatible with cl_vorlage::ausgabe($pv = 0, $ef = '') in /home/.sites/552/site959/web/finanzmathe_alt/zeitrenten/wpformel.php on line 342 Warning: Declaration of pc_text::ausgabe() should be compatible with pc_zeichen::ausgabe($aus = '') in /home/.sites/552/site959/web/finanzmathe_alt/zeitrenten/wpformel.php on line 990 Warning: Declaration of pc_anpasser::ausgabe() should be compatible with pc_zeichen::ausgabe($aus = '') in /home/.sites/552/site959/web/finanzmathe_alt/zeitrenten/wpformel.php on line 1002 Warning: Declaration of cl_formel::ausgabe() should be compatible with cl_ausdruck::ausgabe($pv = 0, $ef = '') in /home/.sites/552/site959/web/finanzmathe_alt/zeitrenten/wpformel.php on line 1412 Einführung in die Versicherungsmathematik

Einführung in die Finanz- und Versicherungsmathematik

2.2. jährlich ausbezahlte Renten

Ein Beispiel zur Demonstration: Jemand bekommt fünf Jahre lang, jeweils zu Beginn des Jahres € 1000. Eine klassische Zeitrente. Wie hoch ist nun der Barwert dieser Rente, also der Wert aller Zahlungen zum Zeitpunkt des Rentenbeginns, wenn wir einen Zinssatz von 5% annehmen?
Dazu berechnen wir den Wert jeder einzelnen Zahlung zum Rentenbeginn (siehe das Abzinsen in Kapitel 1):
Die erste Zahlung erfolgt unmittelbar zum Rentenbeginn und muss daher nicht abgezinst werden. Der Barwert der ersten Zahlung beträgt schlicht:

€   1000

Die zweite Zahlung erfolgt zu Beginn des zweiten Jahres, somit nach einem Jahr, sie muss daher einmal abgezinst werden und beträgt:
€   1000 ·
1
1,05

Die dritte Zahlung erfolgt zu Beginn des dritten Jahres und muss daher zwei mal abgezinst werden:
€   1000 ·
1
1,05
·
1
1,05

Die vierte Zahlung muss drei mal abgezinst werden:
€   1000 ·
1
1,05
·
1
1,05
·
1
1,05

Und die fünfte Zahlung vier mal:
€   1000 ·
1
1,05
·
1
1,05
·
1
1,05
·
1
1,05

Der Barwert der gesamten Rente beträgt somit:
Barwert = 1000 + 1000 ·
1
1,05
+ 1000 ·
(
1
1,05
)
2
+ 1000 ·
(
1
1,05
)
3
+ 1000 ·
(
1
1,05
)
4
=

1000 + 952,38 + 907,03 + 863,84 + 822,70 = 4.545,95

Der Barwert der Rente enspricht   €4.545,95. Man könnte auch sagen: der Wert der Rente zu Beginn ist   €   4.545,95.

Im Folgenden werden wir Barwerte für Renten mit einer Zahlung von jeweils genau einem Euro berechnen. Damit fällt in den Formeln eine Variable (die Rentenhöhe) weg. Das macht Sinn, denn beträgt die tatsächliche Rentenhöhe dann z.B. €250, muss der Rentenbarwert für eine Rente über einen Euro nur mit 250 multipliziert werden.

Im obigen Beispiel könnte man die 1000 herausheben:

1000 ·
(
1 +
1
1,05
+
(
1
1,05
)
2
+
(
1
1,05
)
3
+
(
1
1,05
)
4
)
=

Der Wert in der Klammer entspräche nun dem Barwert für die Rentenhöhe 1. Dieser Wert muß dann nur mit der tatsächlichen Höhe von 1000 € multipliziert werden.