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Einführung in die Finanz- und Versicherungsmathematik

2.2.1.   jährlich vorschüssig zahlbare Zeitrenten

Ausgegangen wird von einer Rente, die jeweils zum Jahresbeginn ausbezahlt wird, deren Rentenhöhe einen Euro ausmacht und die n-Jahre lang ausbezahlt wird.

Der Barwert der Auszahlung zu Beginn des ersten Jahres muss nicht abgezinst werden und beträgt schlicht:

1

Der Barwert der zweiten Auszahlung, wird einmal um den Zins i abgezinst:

1 ·
1
(
1 + i
)
= 1 ·
1
r
= 1 · v   siehe   Formel  
( Z2 )
  und  
( Z3 )

Der Barwert der dritten Auszahlung wird zwei mal abgenzinst:

1 · v · v = 1 ·
v 2

Der Barwert der vierten Auszahlung entspricht:

1 ·
v 3

...
...

Und der Barwert der n-ten Auszahlung entsprich:

1 ·
v
(
n − 1
)

Anmerkung: Die letzte Auszahlung wird (n-1)-mal Abgezinst, und nicht etwa n-mal, da ja z.B. bei einer 50 mal zu zahlenden vorschüssigen Zeitrent die letzte Auszahlung am Beginn des 50 Jahres, somit nach 49 Jahren stattfindet. (Denkhilfe: Der Beginn des dritten Jahres (1. Jänner 00 Uhr) ist gleich dem Ende des zweiten Jahres (31. Dezember 24 Uhr)).

Es folgt nun die Herleitung der allgemeinen Formel für vorschüssige Barwerte, wer nur an der Lösungsformel interessiert ist kann die nächsten paar Zeilen überspringen.


Der   Barwert   dieser   Zeitrente,   wird   mit  
ä n⌉
  bezeichnet   und   entsprich   damit   insgesamt :

ä n⌉
= 1 + 1 · v + 1 ·
v 2
+ ... + 1 ·
v
(
n − 1
)
 

Wir erweitern diesen Term jetzt mit (v-1)/(v-1), was natürlich 1 ergibt und somit das Ergebnis des Terms nicht verändert:
ä n⌉
=
(
1 + v +
v 2
  ... +
v
(
n − 1
)
)
·
(
v − 1
)
(
v − 1
)
 

Nun wird die erste Klammer mit dem Zähler multipliziert:
ä n⌉
=
[
v +
v 2
+
v 3
+ ... +
v n
− 1 − v −
v 2
− ... −
v
n − 1
]
·
1
(
v − 1
)
=

Innerhalb der eckigen Klammer fallen fast alle Elemente weg, übrig bleibt:
ä n⌉
=
(
v n
− 1
)
·
1
v − 1
=
v n
− 1
v − 1
 

Wenn wir nun im Zähler und Nenner jeweils den Minuend und Subtrahend (das vor und das nach dem Minus) vertauschen, was das Ergebnis nicht verändert (setzten sie beliebige Zahlen ein und probieren sie es aus), erhalten wir die in der Literatur übliche Darstellung für den Barwert einer jährlich vorschüssig zahlbaren Zeitrente:

Formel:

ä n⌉
=
1 −
v n
1 − v
  oder  
1 −
v n
d
 
( B1 )
 

Beispiel 1:
Wie hoch ist der Barwert einer 10 Jahre lang, einmal jährlich vorschüssig ausbezahlten Rente über €1000 bei einem Zinssatz von 4,5%?

Lösung zu Beispiel 1