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Einführung in die Finanz- und Versicherungsmathematik

2.2.2.   jährlich nachschüssig zahlbare Zeitrenten

Nun berechnen wir die Formel für eine jährlich nachschüssige Rente von einem Euro. Die jeweilige Rente wird somit immer am Ende einer Periode (hier eines Jahres) ausbezahlt.
Definition:

diesen   Barwert   bezeichnen   wir   mit :
a n⌉
Ähnlich der Vorgangsweise beim vorschüssigen Barwert können wir eine n-mal nachschüssige Rente folgend darstellen:
a n⌉
= v +
v 2
+ ... +
v n
=
Das erste v entspricht der ersten Auszahlung, nach einem Jahr, somit einmal Verzinst (1 * v = v), das v*v der zweiten Auszahlung usw.
Diesen Term mutliplizieren wir wiederum mit (1-v)/(1-v), was das Ergebnis nicht verändert:
a n⌉
=
(
v +
v 2
+ ... +
v n
)
·
(
1 − v
)
·
1
(
1 − v
)
=
und multiplizieren die ersten beiden Klammern miteinander:
a n⌉
=
(
v +
v 2
+ ... +
v n
−
v 2
−
v 3
− ... −
v
n + 1
)
·
1
1 − v
=  
übrig bleibt:
a n⌉
=
v −
v
n + 1
1 − v
=
im Zähler heben wir nun v heraus, den Nenner ersetzten wir nach Formel (Z10) durch d:
a n⌉
=
v ·
(
1 −
v n
)
d
=  
nun Ersetzen wir d nach Formel (Z11) durch i*v:
a n⌉
=
v ·
(
1 −
v n
)
i · v
=  
wird jetzt durch v geküzt ergibt das die, in der Literatur übliche Formel für den Barwert einer nachschüssigen Rente:
Formel:
a n⌉
=
1 −
v n
i
 
( B2 )
 

Beispiel 2:
Wie hoch ist der Barwert einer 5 Jahre lang, einmal jährlich nachschüssig auszahlbaren Rente über €5000 bei einem Zinssatz von 6%?

Lösung zu Beispiel 2