2.3. ewige Renten
Wir gehen nun von den Formeln (B1) und (B2) aus, n ist nun aber unendlich lange. Wir schreiben
n → ∞
(sprich: n geht gegen unendlich).
Wir berechnen den Grenzwert (Limes) der Formeln, wenn n → ∞ :
Dafür stellen wir folgende Überlegung an:
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Was |
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passiert |
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mit |
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wenn |
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n |
→ |
∞? |
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Mathematisch geschrieben drückt man das so aus:
zunächst ersetzen wir v durch 1/(1+i) nach Formel (Z3):
Welche Größen kann i eigentlich annahemen? Genauer, kann der Zinssatz eigentlich
negativ werden? Nein, negative Zinssätze kommen in der Praxis nicht vor. Somit gilt
i > 0. Und wenn i > 0, ist der Nenner (1 + i) in obiger Formel sicher größer 1.
Wird 1 durch etwas größer 1 dividieren, muss das Ergebnis kleiner 1 sein.
v ist somit kleiner 1 (und größer 0 da ja Zähler und Nenner positive Vorzeichen haben).
und wenn 0 < v < 1 und wir n gegen unendlich gehen lassen, geht das Gesamtergebnis gegen 0, wir schreiben:
Anmerkung: Sie können das gerne ausprobieren, nehmen sie einen belibigen (realistischen) Zinssatz an und setzen sie
für n immer höhere Zahlen ein z.B. 100, dann 1000, dann 10000. Sie werden sehen dass sich das Ergebnis 0 annähert.
Mit dem Wissen, dass
ist die Berechnung für ewige Renten aus unseren bisherigen Formeln kein Problem mehr.
Wir berechnen für nachschüssige ewige Renten aus Formel (B1):
Formel:
und für vorschüssige ewige Renten aus Formel (B2):
Formel:
Beispiel 3:
Wie hoch ist der Barwert einer a) ewig nachschüssigen Rente bzw. b) ewig vorschüssigen Rente über
€100 bei einem Zinssatz von 3,5%?
Lösung zu Beispiel 3