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Einführung in die Finanz- und Versicherungsmathematik

Lösung des Beispiel 10:

Gefragt war der Betrag der statt einer Einmalzahlung von € 40 000, 15 Jahre jeden Monat bezahlt werden kann. Bei einem Zins von 4%. Gesucht ist somit jene Renten die einem Barwert von € 40 000 ergibt.

In der Angabe ist von einer vorschüssigen Rente die Rede, außerdem wird sie unterjährig ausbezahlt. Somit wird der Barwert für eine vorschüssige unterjährige Rente benötigt. Formel (B7):

ä n⌉
( k )
=
1
k
·
1 − v
1 −
v
1
k
·
ä n⌉
 
hier wird noch (B1) eingestzt:
ä n⌉
( k )
=
1
k
·
1 − v
1 −
v
1
k
·
1 −
v n
1 − v
 
Die Dauert beträgt 15 Jahre -> n = 15. Ausbezahlt wird montlich -> k = 12:
ä 15⌉
( 12 )
=
1
12
·
1 − v
1 −
v
1
12
·
1 −
v 15
1 − v
=
1
12
·
1 −
v 15
1 −
v
1
12
 
Der Zins beträgt 4% -> i = 0,04;
Nach Formel (Z3) gilt:
v =
1
1 + i
=
1
1 + 0,04
= 0,9615

somit gilt:
ä 15⌉
( 12 )
=
1
12
·
1 −
0,9615 15
1 −
0,9615
1
12
=
1
12
· 136,2941  
Die Höhe des Barwerts kannen wir ja bereits (40 000). Die Formel (B7) entspricht einer Renten von einem Euro, daher wird noch die reale Höhe der Rente mit rein genommen:
40   000 =
1
12
· R · 136,2941  
Das 1/12 nach dem Gleichzeichen rechnet die unterjährige Rente in eine Jahresrente um. In diesem Beispiel ist jedoch die monatliche Rentenhöhe gefragt, somit wird dieser Teil des Terms weggelassen. Außerdem wird die Gleichung umgeformt:
40000
136,2941
= R  

R = 293,48

Die gefragte monatliche Rente beträgt €   293,48.


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