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Lösung des Beispiel 11:

Gegeben ist eine jährlich ausbezahlte Rente. Gesucht ist eine Rente gleichen Wertes, die monatlich ausgezahlt wird. Dafür werden die Formel B1 und B7 aus der Formelsammlung benötigt:

ä n⌉ = 1 − v n 1 − v   oder   1 − v n d   ( B1 )

ä n⌉ ( k ) = 1 k · 1 − v 1 − v 1 k · ä n⌉   ( B7 )

Die gesuchte monatliche Rente soll den selben Barwert haben wie die jährlich ausbezahlte Renten. D.h. die Barwerte der beiden Renten sind gleich.

ä n⌉ = ä n⌉ ( k )

Das stimmt natürlich nicht ganz, es muss noch die unterschiedliche Rentenhöhe hinzugefügt werden. RJ für die Jahresrente RM für die Monatsrente.

RJ · ä n⌉ = RM · 1 k · 1 − v 1 − v 1 k · ä n⌉

Das 1/k nach dem RM normiert unsere Formel auf eine Jahresrente, da wir aber ohnehin den Betrag RM als monaltiche Rente benötigen, wird diseses 1/k weggelassen:

RJ · ä n⌉ = RM · 1 − v 1 − v 1 k · ä n⌉

Auf   beiden   Seiten   wird   durch   ä n⌉   dividiert.

RJ = RM · 1 − v 1 − v 1 k

Bei monatlicher Auszahlung ist k = 12, und nach Formel Z3

v = 1 1 + i = 1 1 + 0,035 = 0,9662

Die Rentenhöhe der Jahresrente ist mit € 8000 angegeben.

k = 12 , v = 0,9662 und RJ = 8000 wird in obige Gleichung eingesetzt:

8000 = RM · 1 − 0,9662 1 − 0,9662 1 12

8000 = RM · 11,8129

RM = €   677,23

Eine Jahresrente mit € 8000 entspricht somit einer Monatsrente von € 677,23.

Anmerkung: Die Länge der Rente spielt dabei keine Rolle. Das eine monatlich vorschüssige Renten nicht gleich der Jahresrente durch 12 ist, liegt am Effekt der unterjährigen Verzinsung. Und dieser Effekt hängt nur vom Zinssatz und dem Zahlungsinterval ab, nicht aber davon ob die Rentendauer 15 oder z.B. 20 Jahre ist.

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