Einführung in die Finanz- und Versicherungsmathematik

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2.4. Zeitrenten mit Wartezeit

In der Praxis kommen häufig aufgeschobene Renten vor, d.h. z.B. jemand bekomt eine Rente von x Euro pro Jahr, aber die erste Zahlung erfolgt erst in fünf Jahren. Oft kommt eine solche Wartezeit in Verbindung mit einer Altersrente vor, der Betroffene bekommt eine Rente aber erst nachdem er mindestens 60 Jahre alt ist. Je nach aktuellem Alter steht bereits fest wie lange er warten muss.

Wir bezeichnen aufgeschobene Renten mit:
Definition:

m|   ä n⌉   für   eine   um   m   Jahre   aufgeschobene   vorschüssig   zahlbare   Rente

und

m|   a n⌉   für   eine   um   m   Jahre   aufgeschobene   nachschüssig   zahlbare   Rente

mit   m   Länge   der   Wartezeit

Mathematisch stellt eine aufgeschobene Rente vor kein großes Problem dar. Angenommen eine Rente beginnt in fünf Jahren und wird dann 10 Jahre lang ausbezahlt. Wenn wir die Wartezeit einen Augenblick beiseite lassen, entsprechen die Barwerte nach (B1) und (B2) dem Barwert nach der Wartezeit. Um den Barwert vor der Wartezeit zu bekommen müssen wir den Barwert am Ende der Wartezeit nur noch um die Wartezeit abzinsen.

| − | − | − | − | − | Wartezeit | − | − | − | − | − | − | − .... Auszahlungsperiode

Wir nehmen nun unsere bisherigen Rentenformeln (B1) und (B2). Das Ergebniss dieser Formeln entsprich dem Barwert vor der ersten Auszahlungsperiode, dieser wird noch um die Wartezeit abgezinst. Wobei m die Länge der Wartezeit angibt.
Für vorschüssige Renten mit Wartezeit ergibt das:
Formel:

m|   ä n⌉ = 1 − v n 1 − v   1 v m = ä n⌉ · 1 v m   ( B5 )

und für nachschüssige Renten mit Wartezeit:
Formel:

m|   a n⌉ = 1 − v n i   1 v m = a n⌉ · 1 v m   ( B6 )

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