Einführung in die Finanz- und Versicherungsmathematik

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2.5. mehrmals jährlich zahlbare Renten

Meist werden Renten aber nicht einmal pro Jahr ausbezahlt sondern monatlich. Allgemein kann es auch vorkommen, dass Renten jedes Quartal oder jedes halbe Jahr ausbezahlt werden. Wir sprechen hier von k-mal jährlich zahlbaren Renten. Wobei k die Anzahl der Auszahlungen pro Jahr ist, also 12 bei monatlicher Auszahlung, 2 bei halbjährlicher usw.
Definition:

k   ......   Anzahl   der   Auszahlungen   pro   Jahr

Den Barwert einer, n Jahre lang und k-mal jährlich bezahlten Rente bezeichnen wir mit:

ä n⌉ ( k )   bzw.   a n⌉ ( k )

2.5.1. unterjährig vorschüssige Renten

Versuchen wir nun die Formel für den Barwert einer n-Jahre lang, k-mal jährlich, vorschüssig zahlbaren Rente zu finden. Die Vorgangsweise ähnelt dabei der Herleitung des Barwertes unter 2.2.1., sie wird durch mehrmals jährliche Auszahlungen nur ein wenig umfangreicher, sie sollten sich daher zuerst nochmals mit der Herleitung unter 2.2.1. beschäftigen bevor sie hier weiterlesen. Wiederum gilt, wenn sie nur an der Lösungsformel interessiert sind überspringen sie die nächsten paar Zeilen einfach.

Zur Herleitung:
Wir gehen von einer n Jahre lang, k mal jährlich ausbezahlten Rente aus. Wie gehabt ist ein Zinssatz von i gegeben, sodass wir mit 1/(1 + i) = v (siehe Formel Z3) abzinsen.
Die erste Auszahlung erfolgt (da vorschüssig) unmittelbar am Rentenbeginn und muss nicht abgezinst werden und beträgt daher:

1 k   für   die   spätere   Summenschreibweise,   können   wir   auch   v 0 k   was   ebenfalls   eins   ergibt,   schreiben

Die zweite Auszahlung erfolgt nach einer Auszahlungsperiode, also nach 1/k Jahren, z.B. bei monatlicher Auszahlung nach einem Monat = 1/12 Jahr und beträgt daher:

1 k · v 1 k

Nach gleichen Schema beträgt die dritte Auszahlung:

1 k · v 2 k

...
...
...

Die letzte Auszahlung erfolgt nach (n*k)-1 Perioden. Z.B. gibt es bei einer 12 mal jährlich und 2 Jahre lang bezahlten Rente 24 = 2*12 = n*k Auszahlungen. Die letzte Auzahlung erfolgt aber bereits am Beginn der letzten Periode und wird somit nur (n*k)-1 (und nicht n*k) mal aufgezinst. Die letzte Auszahlung ergibt:

1 k · v ( n · k − 1 k )

Daher kann der Barwert einer n Jahre lang, k mal jährlichen, vorschüssigen Rente wie folgt beschrieben werden:

ä n⌉ ( k ) = 1 k · ( v 0 k + v 1 k + ... + v n · k − 1 k ) = 1 k · n · k − 1 ∑ i = 0   v i k

1/k am Beginn kommt daher, dass sich die angenommene Rente von einem € bei unseren Barwerten jeweils auf ein Jahr bezieht. Die jeweilige Auzahlung betägt somit nur 1/k.
Z.B. bei k=12 monatlich je 1/12 = 0,08 €.
Anschließend wurde das Ganze noch in Summenschreibweise angefügt.

Wir können das Ganze auch in zwei Summen aufspalten:

ä n⌉ ( k ) = 1 k · ( v 0 k + + v 1 k + ... + v k − 1 k ) · ( v 0 + v 1 + ... + v n − 1 ) = 1 k · k − 1 ∑ i = 0   v i k · n − 1 ∑ j = 0   v j

Falls sie die Aufspaltung in die beiden Summen nicht gleich nachvollziehen können, versuchen sie die beiden Klammern (z.B. für n=2 und k=4) auf einem Blatt Papier auszumultiplizieren, sie werden auf den Ausdruck in obiger Klammer kommen.
Die zweite Summe enspricht dabei exakt dem Barwert für die einmal jährlich vorschüssig zahlbare Rente (siehe Herleitung von B1), somit haben wir diesen Teil bereits durch (B1) dargestellt. Wir können schreiben:

ä n⌉ ( k ) = 1 k · k − 1 ∑ i = 0   v i k · ä n⌉

Hierin steckt die wichtige Erkenntnis, dass wir eine mehrmals jährlich zahlbare Rente, als einmal jährlich zahlbare Rente mit Korrekturterm darstellen können.

Beschäftigen wir uns nun in einer Nebenrechnung nur mit dem mittleren Teil der obigen Gleichung:
Nebenrechnung:

k − 1 ∑ i = 0   v i k = v 0 k + v 1 k + ... + v k − 1 k =

Diesen Term mulitplizieren wir nun mit:

1 − v 1 k · 1 1 − v 1 k

was ja 1 ergibt und nichts am Ergebnis ändert. Wir erhalten:

( v 0 k + v 1 k + ... + v k − 1 k ) · ( 1 − v 1 k ) · 1 1 − v 1 k =

Nun multiplizieren wir die ersten beiden Klammern aus:

( v 0 k + v 1 k + ... + v k − 1 k − v 1 k − v 2 k − ... − v k k ) · 1 1 − v 1 k =

innerhalb der ersten Klammer fallen fast alle Terme weg, übrig bleibt:

( v 0 k − v k k ) · 1 1 − v 1 k = 1 − v 1 − v 1 k =

setzten wir nun wieder in unseren Hauptterm ein, erhalten wir den Barwert für eine n-Jahre, k-mal jährlich, vorschüssige Rente:
Formel:

ä n⌉ ( k ) = 1 k · 1 − v 1 − v 1 k · ä n⌉ = ( B7 )

Was wir alternativ auch so anschreiben können:

ä n⌉ ( k ) = 1 k · d 1 − v 1 k · ä n⌉ = 1 k · 1 − v 1 − v 1 k · 1 − v n 1 − v

Damit haben wir auch für mehrmals jährlich ausbezahlte Renten einen Barwert. Bevor wir zum Barwert für die entsprechenden nachschüssigen Renten kommen noch ein kurzer Einschub:

Wir empfehlen den obigen Barwert zu Verwenden. Auch heute verwendet man allerdings noch häufig eine Näherungsformel um die nicht-ganzahligen Potenzen zu vermeiden. Da heute jeder PC und jeder bessere Taschenrechner problemlos mit gebrochenen Potenzen umgehen kann, sollte die Näherungsformel eigentlich nicht mehr verwendet werden. Da sie aber in der Realität noch immer zu finden ist wollen wir hier kurz darauf eingehen:

Wir kehren dazu zur oben verwendeten Summenschreibweiße zurück und schreiben den Barwert nochmals an:

ä n⌉ ( k ) = 1 k · n − 1 ∑ j = 0   v j   k − 1 ∑ i = 0   v i k

Die erste Summe stellen wir wieder durch den Barwert für eimal jährlich zahlbare Renten (aus 2.2.1.) dar, in der zweiten Summe ersetzen wir v durch 1 - d (nach Z10):

ä n⌉ ( k ) = 1 k · ä n⌉ · k − 1 ∑ i = 0   ( 1 − d ) i k

Entwickeln wir nun die letzte Summe als MacLaurische Reiche (Spzialfall der Taylor-Reihen-Entwicklung mit Entwiklungspunkt 0 - genaueres siehe hier) und betrachten nur die ersten beiden Glieder. Herraus kommt folgende Näherung:
Formel:

ä n⌉ ( k ) = ä n⌉ − k − 1 2k · ( 1 − v n )   ( B8 )

Wie bereits erwähnt handelt es sich dabei um eine Annäherung an das wirkliche Ergebniss, der Fehler ist allerdings recht gering. Wir wollen das an einem Beispiel verdeutlichen:

Beispiel 4 :
Geben sei eine Rente mit einer Dauer von 5 Jahren und einer Auszahlung von € 100 pro Monat. Nehmen sie einen Zinsfuß von 4,5% an und berechnen sie den Barwert a) nach der exakten Methode und b) mit der Näherungsformel.

Lösung zu Beispiel 4

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