Einführung in die Finanz- und Versicherungsmathematik

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2.7. Rentenendwerte

Ebenso wie wir den Barwerte einer Rente zum Rentenbeginn berechnen können, lässt sich der Wert der Rente zum Rentenende berechnen. Die einzelnen Rentenzahlungen werden dabei nicht abgezinst sonder aufgezinst.

Zu Beachten ist dabei, dass das Ende der Rente nicht mit der letzten Zahlung zusammenfallen muss. Bei einer vorschüssigen Rente erfolgt die letzte Zahlung zu Beginn der letzten Periode, dass definierte Rentenende liegt aber am Ende der letzten Periode.
Z.B. Bekommt jemand ein Jahr lang, jeweils am Monatsbeginn, eine Zahlung von  € 100,- so erfolgt die letzte Zahlung am 1.12. des Jahres, das Rentenende ist aber der 31.12..

Wir schreiben:
Definition:

s .. n⌉   für   vorschüssige   Rentenendwerte

s n⌉   für   nachschüssige   Rentenendwerte

Wie immer gehen wir im Folgenden von einer Rente über  € 1 pro Periode aus.

2.7.1. Endwert vorschüssiger Renten

Nun berechnen wir die Formel für den Endwert einer jährlich vorschüssigen Rente von  € 1, die jeweilige Rente wird immer am Beginn der Periode (hier eines Jahres) ausbezahlt.

Wir können den Rentenendwert durch die, jeweils aufgezinsten, einzelnen Auszahlungen darstellen:

s .. n⌉ = r n + r n − 1 + ... + r 1 =

Zur Erläuterung der obigen Formel: Der erste Term erfolgt am Anfang der ersten Periode, er muss also die volle Rentendauer von n Perioden aufgezinst werden. Der zweite Term muss um eine Periode weniger oft aufgezinst werden usw.. Der letzte Term erfolgt am Beginn der letzten Periode, er muss also noch einmal aufgezinst werden (sollten sie mit dem aufzinsen Probleme haben gehen sie zurück zum Kapitel Zinsrechnung).

dieser Term wird mit (1-r)/(1-r) multipliziert, was das Ergebnis nicht verändert:

s .. n⌉ = ( r n + r n − 1 + ... + r 1 ) · ( 1 − r ) · 1 ( 1 − r ) =

und multiplizieren die ersten beiden Klammern miteinander:

s .. n⌉ = ( r n + r n − 1 + ... + r 1 − r n + 1 − r n − ... − r 2 ) · 1 1 − r =

übrig bleibt:

s .. n⌉ = r − r n + 1 1 − r =

nun heben wir im Zähler r heraus:

s .. n⌉ = r · ( 1 − r n ) 1 − r = r 1 − r · ( 1 − r n ) =

und setzten für die r im Bruch jeweils 1/v (nach Formel Z3) ein und formen im zweiten Schritt den Nenner um:

s .. n⌉ = 1 v 1 − 1 v · ( 1 − r n ) = 1 v v − 1 v · ( 1 − r n ) =

den Doppelbruch lösen wir auf und erhalten:

s .. n⌉ = v v · ( v − 1 ) · ( 1 − r n ) =

wird nun v wegkürzt und dann im Zähler und Nenner mit *(-1) erweitert, ergibt das::

s .. n⌉ = 1 − r n v − 1 = r n − 1 1 − v =

nun wird noch 1 - v durch d (Formel Z10) ersetzt. Die Formel für den Endwert einer vorschüssigen Rente ist:
Formel:

s .. n⌉ = r n − 1 d   ( B12 )

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