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Einführung in die Finanz- und Versicherungsmathematik

2.5.2. unterjährig nachschüssige Renten

Nun wenden wir uns den nachschüssigen Barwerten von mehrmals jährlich zahlbaren Renten zu. Unsere Vorgangsweise gleicht dabei der von vorschüssigen Renten.
Zunächst sehen wir uns wieder die Summe aller Auszahlungen der Rente an:

a n⌉
( k )
=
1
k
·
(
v
1
k
+
v
2
k
+ ... +
v
n · k
k
)
=
n · k
∑
i = 1
 
v
i
k
 

Bei nachschüssigen Renten wird schon die erste Auszahlung über eine Periode von 1/k verzinst. Die letzte Zahlung erfolgt wirklich zum Rentenende und wird daher n*k (Anzahl der Perioden) mal verzinst.
Nun wird die obige Summe, in zwei Summen aufgespaltet. Wobei die zweite unserem Barwert für einmal jählich zahlbare Renten entspricht:
a n⌉
( k )
=
1
k
·
(
v
−
(
k − 1
)
k
+
v
−
(
k − 2
)
k
+ ... +
v
−
(
k − k
)
k
)
·
(
v 1
+
v 2
+ ... +
v n
)
=  

Die Terme in der ersten Klammer schauen etwas wild aus, sie sind aber nötig um als zweite Teilsumme den uns schon bekannten Barwert zu bekommen.
Alle die Problem haben die Aufspaltung nachzuvollziehen bitten wir wiederum sich eine zwei Jahre lang vierteljährlich ausbezahlte Rente vorzustellen (n = 2 ,k = 4) und in die beiden Summen einzusetzen und auszumultiplizieren, sie werden auf die erste Summe kommen!
Den obigen Term können wir auch folgend anschreiben:
a n⌉
( k )
=
1
k
·
(
v
−
(
k − 1
)
k
+
v
−
(
k − 2
)
k
+ ... +
v
0
k
)
·
a n⌉
=  

Nach schon mehrmals angewandter Vorgangsweise wird in einer Nebenrechnung nur den mittleren Term umgeformt. Und in eine leichter zu handabenden Art umgeschrieben:
Nebenrechnung (nur der mittlere Term):
(
v
−
(
k − 1
)
k
+
v
−
(
k − 2
)
k
+ ... +
v
0
k
)
=  

wir erweitern wiederum mit einem Bruch der eins ergibt und somit das Ergebnis nicht verändert:
(
v
−
(
k − 1
)
k
+
v
−
(
k − 2
)
k
+ ... +
v
0
k
)
·
1 −
v
1
k
1 −
v
1
k
=  

Nun multiplizieren wir die Klammer mit dem Zähler des Bruchs:
(
v
−
(
k − 1
)
k
+
v
−
(
k − 2
)
k
+ ... +
v
0
k
−
v
−
(
k − 2
)
k
−
v
−
(
k − 3
)
k
− ... −
v
1
k
)
·
1
1 −
v
1
k
=  

in der Klammer fallen uns alle Terme bis auf zwei Weg, dannach formen wir um:
v
−
(
k − 1
)
k
−
v
1
k
1 −
v
1
k
=
v
1
k
·
(
v
−
k
k
− 1
)
1 −
v
1
k
=
v
1
k
·
(
v
− 1
− 1
)
v
1
k
·
(
v
−
1
k
− 1
)
=
v
− 1
− 1
v
−
1
k
− 1
=
1 −
v
− 1
1 −
v
−
1
k

Den letzten Term, das Ergebnis unserer Nebenrechnung, setzten wir nun statt der Summe in unsere Formel für den Barert ein und erhalten:
 
a n⌉
( k )
=
1
k
·
1 −
v
− 1
1 −
v
−
1
k
·
a n⌉
 
( B9 )

(B9) beschreibt den Barwert für eine n Jahre lang, k mal jährlich ausbezahlten, nachschüssigen Rente.