Einführung in die Finanz- und Versicherungsmathematik

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2.8. steigende Renten

Häufig sollen Renten jährlich steigen. Z.B. könnte man eine Renten jährlich um 2% Prozent steigen lassen um den drohenden Kaufkraftverlust duch die Inflation auszugleichen. Wie üblich nehmen wir eine Renten von € 1 an und gehen von vorschüssiger Zahlart aus. Der Barwert (den wir hier temporär nur mit B bezeichen) würde so aussehen:

B = 1 + ( 1 + j ) 2 · v 2 + ( 1 + j ) 3 · v 3 + ... + ( 1 + j ) n − 1 · v n − 1 =

wobei wir die jährliche Steigerungsrate mit j bezeichnen, z.B. j=0,02 für 2%. Natürlich müssen wir zukünftige Zahlungen noch mit dem Abzinsfaktor v abzinsen (bei Unklarheiten dazu siehe Kapitel 2.2.)
Das Ganze schreiben wir nun in Summenschreibweise:

B = n − 1 ∑ t = 0   ( 1 + j ) t · v t =

und ersetzen zuerst v nach Formel (Z3), dann wird umgeformt:

B = n − 1 ∑ t = 0   ( 1 + j ) t · ( 1 1 + i ) t = n − 1 ∑ t = 0   ( 1 + j 1 + i ) t

das ergibt eine Formel für Renten mit Wertanpassung, wir könnten jetzt für alle in diesem Kapitel hergeleiteten Formeln, eine zweite Formel mit Wertanpassung herleiten. Es gibt aber eine wesentlich einfachere Möglichkeit.
Definition: Realzins

R = 1 + i 1 + j − 1   ( B14 )

Der Realzins ist eine Größe die das Verhältnis zwischen Wertsteigerung (Aufzinsen) und Abzinsung, in einem Wert darstellt.
Wir können nun alle in diesem Kapitel hergeleitete Formeln auch für steigende Renten benutzen, indem wir statt dem Zinssatz i den Realzinssatz R einsetzen. Somit können wir zu Beginn der Barwertberechnung die Wertsteigerung in den Zins einrechnen und dann wie gewohnt den Barwert ausrechnen ohne uns weiter mit der Wertsteigerung beschäftigen zu müssen.
Die Logik hinter dem Realzins ist einfach zu verstehen. Gibt es keine Wertsteigerung ist 1+j gleich 1, da j=0, und somit ist R = i. Gibt es eine Wertsteigerung, ist j ungleich 0, muss der Effekt des Abzinsens zukünftiger Leistungen um die Wertanpassung abgeschwächt werden, dieses Verhätnis von Ab- und Aufzinseffekt gibt der Realzins an.

Sämtliche Formeln in diesem und den anderen Kapiteln können sowohl mit i als auch R verwendet weren. In den nächsten Kapiteln arbeiten wir nur noch mit dem Realzins, in allen bisherigen Formeln kann statt i auch R eingesetzt werden.

Beispiel 9 :
Berechne den Barwert einer 10 mal jährlich vorschüssig zahlbaren Rente von € 1000. Nimm einen Zinssatz von 3,5% an, die jährliche Wertsteigerung der Rente beträgt 2%.

Lösung zu Beispiel 9

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