1.2. Zinseszins
Meist werden die Zinsen aber nicht nur auf das Anfangskapital gezahlt, sondern
auch die Zinsen werden ihrerseits wieder verzinst. Es treten Zinseszins-Effekte auf.
Verzinst man ein Kapital auf diese Art erhält man:
nach dem ersten Jahr:
|
|
= |
A |
+ |
A |
· |
i |
= |
A |
· |
|
= |
A |
· |
r |
|
diese neue Kaptial wird nun im zweiten Jahr wieder verzinst:
und auch im dritten Jahr wird das Vorjahreskapital wieder verzinst:
.....
.....
Formel:
nach n Jahren erhält man demnach:
Analog zu von Z4 zu Z5 erhält man durch einfaches Umformen:
Den Vorgang bei den Formeln (Z5) und (Z7) nennt man Abzinsen. Hierbei wird das Kapital durch den Aufzinsfaktor
dividiert. Um die Formeln im Folgenden leichter (ohne Bruch) darstellen zu können, benutzen wir v aus (Z3)
Formel (7) lässt sich somit
anschreiben.
Anmerkung:
Beim Abzinsen gehen wir von einem gegebenen Endwert aus und berechnen den Anfangswert. Wenn wir ein gegebenes
Kapital zehn Jahre abzinsen, entspricht der Anfangswert
somit einem fiktiven Kaptial vor zehn Jahren, dass aufgezinst dem heutigen Kapital entspricht.
Beispiel 1:
Berechne für ein Anfangskapital von € 1000 und einen Zinsfuß von 3,5% den Endwert des Kapitals nach 2, 5,
10 und 100 Jahren mit a) Zinsen nur aufs Anfangskapital b) unter berücksichtigung des Zinseszins.
Lösung zu Beispiel 1
Beispiel 2:
Gegeben sei ein Anfangskapital von € 2500 und eine Zinsfuß von 5%. Berechne den Endwert des Kapitals
nach a) 6 Monaten, b) 5 Jahren und 3 Monaten und c) 9 Jahren und 7 Monaten.
Lösung zu Beispiel 2
Beispiel 3:
Nun wollen wir wissen wieviel Jahre es bei einem Zinsfuß von a) 3% und b) 7% dauert, bis sich das Kapital
verdoppelt.
Lösung zu Beispiel 3
Zur besseren Lesbarkeit führen wir nun noch die jährliche Diskontrate d ein:
Formel:
Soll ein Betrag nun ein Jahr abgezinst werden, wird er einfach mit d multipliziert.
Für die Diskontrate gelten folgende Beziehungen:
Formel:
und
Beispiel 4:
Zeige dass die Beziehungen von a) Z12 und b) Z11 wirklich gelten.
Lösung zu Beispiel 4